Möller-Trumbore射线三角形求交算法

发表于 2026-10-31 本文字数： 7.3k 阅读时长 ≈ 27 分钟

射线与三角形求交：Möller–Trumbore 算法详解与证明

前言

这篇文章是我和 AI 一来一回聊出来的。

起因只是一个很小的问题：射线与三角形求交，除了「先求射线与平面的交点、再判断点是否在三角形内」这个老办法，Möller–Trumbore 那个一口气解出 $t, u, v$ 的做法究竟是怎么来的？结果问题越追越多——为什么这里冒出一个克莱姆法则？克莱姆法则本身为什么成立？混合积为什么能写成行列式？由于很多数学知识遗忘了，于是就这么一路问下去，把原本只会照抄公式的地方，逐个变成了能自己推出结论的地方。

收获比预期大。以前看这类实现，眼里只是一串叉乘和点乘；现在知道每一步在算什么、为什么可以那样重排，以及符号最容易在哪一步翻车。怕自己忘，也怕以后只记得结论不记得原因，就把这次讨论整理成了这篇。

全文按「问题 → 数学工具 → 推导 → 实现 → 工程细节」的顺序展开。想补推导的话，§4（克莱姆法则）和 §5（混合积）是关键；只想拿代码，直接跳到 §8 即可。

1. 问题定义与记号

三维空间里最常被问的一个问题：「这条射线打中了哪个三角形？」

教科书上的标准答案是分两步：先求射线与三角形所在平面的交点，再判断这个交点是否落在三角形内部。Möller 与 Trumbore 在 1997 年给出了另一条路径——只用一个 3×3 线性方程组，一次解出射线参数与重心坐标，把叉乘次数减半。下面先统一记号。

射线：

$R (t) = O + t D, t \in [0, + \infty)$

$O$ ：起点
$D$ ：方向向量。不要求是单位向量，这一点后面 §9.3 会用到

三角形：三个顶点 $P_{0}, P_{1}, P_{2}$ ，两条边向量

$E_{1} = P_{1} - P_{0}, E_{2} = P_{2} - P_{0}$

从射线起点指向 $P_{0}$ 的向量：

$S = O - P_{0}$

1.1 重心坐标

三角形所在平面上的任意一点都可以写成三个顶点的仿射组合：

$P (u, v) = (1 - u - v) P_{0} + u P_{1} + v P_{2}$

$(1 - u - v, u, v)$ 就是重心坐标（barycentric coordinates），三者恒和为 1。

几何上它们是面积比：

$u = \frac{S _{△ P_{0} Q P_{2}}}{S _{△ P_{0} P_{1} P_{2}}}, v = \frac{S _{△ P_{0} P_{1} Q}}{S _{△ P_{0} P_{1} P_{2}}}, 1 - u - v = \frac{S _{△ Q P_{1} P_{2}}}{S _{△ P_{0} P_{1} P_{2}}}$

这也解释了为什么它天然适合做属性插值：给三个顶点各挂一个法线 / UV / 颜色，按 $(1 - u - v, u, v)$ 加权就能得到交点处的插值结果。

1.2 判定条件

相交 $⟺$ 存在 $(t, u, v)$ 使

$O + t D = (1 - u - v) P_{0} + u P_{1} + v P_{2}$

且

$t > 0, u \geq 0, v \geq 0, u + v \leq 1$

前一个条件说交点在射线正方向，后三个说交点在三角形内部（含边界）。

2. 朴素做法：两步法

2.1 第一步，与平面求交

平面法向

$N = E_{1} \times E_{2}$

过 $P_{0}$ 的平面方程 $N \cdot (X - P_{0}) = 0$ 。代入 $X = O + t D$ ：

$N \cdot (O + t D - P_{0}) = 0 ⟹ N \cdot S + t N \cdot D = 0$

$t = \frac{N \cdot ( P _{0} - O )}{N \cdot D} = - \frac{N \cdot S}{N \cdot D}$

$N \cdot D = 0$ 表示射线平行于平面：无交点，或整条射线躺在平面内。

2.2 第二步，判断是否在三角形内

得到交点 $Q = O + t D$ 后，两种常见写法。

边函数（三次叉乘同向）：

$c_{0} = (P_{1} - P_{0}) \times (Q - P_{0}), c_{1} = (P_{2} - P_{1}) \times (Q - P_{1}), c_{2} = (P_{0} - P_{2}) \times (Q - P_{2})$

若 $c_{0} \cdot N, c_{1} \cdot N, c_{2} \cdot N$ 同号，则 $Q$ 在内部。

面积比：直接按 §1.1 的定义算 $u, v$ ，代价是三次叉乘 + 三次取模 + 除法。

2.3 代价

项目	两步法	Möller–Trumbore
向量减法	6	3
叉乘	4	2
点乘	5	4
除法	1	1
是否构造交点 $Q$	需要	不需要

2.4 三个隐性成本

中间量 $Q$ 没有复用价值。它被算出来只为了做内测，而 $t$ 本身已经是最终答案。
内测要重新算一遍边。 $Q - P_{i}$ 是三次减法加三次叉乘，和第一步毫无共享。
信息没利用干净。 $S, D, E_{1}, E_{2}$ 全都在场， $t$ 里其实已经隐含了重心坐标的信息，但要先求出 $Q$ 才能把它「读」出来——多绕了一圈。

反过来想：既然 $(t, u, v)$ 是三个未知数，而等式在三维空间中本来是三个标量方程，那它本来就该被一次性解出来。

3. 换个思路：一个 3×3 线性方程组

从核心等式出发，把未知数归到左边。先展开右端：

$(1 - u - v) P_{0} + u P_{1} + v P_{2} = P_{0} + u (P_{1} - P_{0}) + v (P_{2} - P_{0}) = P_{0} + u E_{1} + v E_{2}$

代回并移项：

$t D - u E_{1} - v E_{2} = P_{0} - O = - S$

两边同乘 $- 1$ ：

$- t D + u E_{1} + v E_{2} = S (3.1)$

写成矩阵形式（三列依次是 $- D, E_{1}, E_{2}$ ）：

$M ∣ - D ∣ ∣ E_{1} ∣ ∣ E_{2} ∣ t u v = S_{x} S_{y} S_{z} (3.2)$

$M = [- D E_{1} E_{2}]$

于是问题变成：解一个 3×3 线性方程组。

式 (3.1) 左端的负号来自移项，随后被矩阵的第一列 $- D$ 吸收，所以式 (3.2) 的右端是 $+ S$ 而不是 $- S$ 。顺着移项走一遍，符号不会错。

4. 数学工具一：克莱姆法则

4.1 定理

设 $A$ 是 $n \times n$ 方阵， $det (A) \neq = 0$ 。若 $x$ 是

$Ax = b$

的解，把 $A$ 的第 $i$ 列替换为 $b$ 得到 $A_{i}$ ，则

$x_{i} = \frac{det ( A _{i} )}{det ( A )}$

记忆：分母永远是原矩阵的行列式；分子是把「该未知数对应的那一列」换成常数列。

它的价值：不需要消元（无需处理主元为 0 的情形），每个未知数都有一个独立、闭式的表达式。当这些行列式能借助向量运算快速求出时，它就是最快的路径。

4.2 证明一：换列 + 行列式的列线性

以 $2 \times 2$ 为例：

$A = [a_{11} a_{21} a_{12} a_{22}], b = [b_{1} b_{2}], A_{1} = [b_{1} b_{2} a_{12} a_{22}]$

由 $b = Ax$ ，即 $b_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2}$ 、 $b_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2}$ ，代入：

$A_{1} = [a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} a_{12} a_{22}]$

关键性质：行列式对每一列/行是线性的（固定其余列，对当前列线性）。于是把第一列拆开：

$det (A_{1}) = det [a_{11} x_{1} a_{21} x_{1} a_{12} a_{22}] + det [a_{12} x_{2} a_{22} x_{2} a_{12} a_{22}]$

第一项提出 $x_{1}$ 就是 $x_{1} det (A)$ ；第二项两列相同，行列式为 $0$ 。故

$det (A_{1}) = x_{1} det (A) ⟹ x_{1} = \frac{det ( A _{1} )}{det ( A )} ■$

对 $x_{2}$ 完全对称。推广到 $n$ 维只是「拆成 $n$ 项、其余 $n - 1$ 项因列重复而消失」，论证相同。

4.3 证明二：伴随矩阵

$A$ 可逆时

$x = A^{- 1} b = \frac{1}{det ( A )} adj (A) b, (adj A)_{ij} = C_{ji}$

其中 $C_{ji}$ 是代数余子式。取第 $i$ 个分量：

$x_{i} = \frac{1}{det ( A )} j = 1 \sum n C_{ji} b_{j}$

而右端这个求和正是把第 $i$ 列换成 $b$ 后按第 $i$ 列展开的公式：

$det (A_{i}) = j = 1 \sum n b_{j} C_{ji} ⟹ x_{i} = \frac{det ( A _{i} )}{det ( A )} ■$

两个证明的分工：证明一让你看见为什么是「换列」；证明二让你理解它在矩阵语言里的位置。写代码时两者都不需要，但想清楚「分母为什么总是同一个」，靠的是它们。

5. 数学工具二：混合积

5.1 定义

对三个三维向量 $a, b, c$ ：

$[a, b, c] \equiv a \cdot (b \times c)$

先叉乘得向量，再点乘得标量，所以叫标量三重积（scalar triple product）；三个向量「混」在一起，也叫混合积。

5.2 定理：以三个向量为列的行列式 = 混合积

$A = [a b c] = a_{x} a_{y} a_{z} b_{x} b_{y} b_{z} c_{x} c_{y} c_{z}$

按第一列展开：

$det (A) = a_{x} b_{y} b_{z} c_{y} c_{z} - a_{y} b_{x} b_{z} c_{x} c_{z} + a_{z} b_{x} b_{y} c_{x} c_{y}$

而叉乘的分量是

$b \times c = b_{y} c_{z} - b_{z} c_{y} b_{z} c_{x} - b_{x} c_{z} b_{x} c_{y} - b_{y} c_{x}$

逐项对照：

$b_{y} b_{z} c_{y} c_{z} = b_{y} c_{z} - b_{z} c_{y} = (b \times c)_{x}, b_{x} b_{z} c_{x} c_{z} = b_{x} c_{z} - b_{z} c_{x} = - (b \times c)_{y}, b_{x} b_{y} c_{x} c_{y} = b_{x} c_{y} - b_{y} c_{x} = (b \times c)_{z}$

中间那个负号正好与展开式里的 $-$ 抵消：

$det (A) = a_{x} (b \times c)_{x} + a_{y} (b \times c)_{y} + a_{z} (b \times c)_{z} = a \cdot (b \times c) ■$

这里之所以选列来证，是因为后面要用的都是列：§6 的 $M = [- D ∣ E_{1} ∣ E_{2}]$ 就是列拼，直接套用即可。若改以三个向量为行拼成矩阵，结论同样成立—— $det (A^{⊤}) = det (A)$ ，且按第一行展开与按第一列展开逐项对应。

5.3 性质

性质	表达式
轮换不变	$a \cdot (b \times c) = b \cdot (c \times a) = c \cdot (a \times b)$
交换变号	$a \cdot (b \times c) = - a \cdot (c \times b)$
有重复为零	任意两个向量相同或共线 $\Rightarrow 0$
共面判据	三向量共面 $⟺ [a, b, c] = 0$
体积	$[a, b, c] =$ 平行六面体体积
点叉可换	$a \cdot (b \times c) = (a \times b) \cdot c$

轮换性的证明：把 $[a, b, c]$ 看成以三向量为列的行列式 $det [a ∣ b ∣ c]$ 。

行列式有一条基本性质：交换任意两行（或两列），行列式变号。 于是把 $(a, b, c)$ 轮换成 $(b, c, a)$ 只需两步——

$(a, b, c) ⟶ (b, a, c) ⟶ (b, c, a)$

两次交换，变了两次号，负负得正，行列式不变。同理，交换任意两个向量只需一次交换，符号翻转。

两种情形合起来，就是「6 种排列里 3 种相等、3 种互为相反数」的全部理由：交换次数为偶则保号，为奇则变号。 $■$

与点叉互换的关系：轮换不变还有一条等价说法，即「叉号可以往前挪一位」：

$u \cdot (v \times w) = (u \times v) \cdot w$

这一条很容易被误当成轮换性的「原因」，其实它是轮换性的另一种写法：由轮换式直接代入可得它；反过来用它配合点积的交换律，也能推出轮换式。所以它不提供任何新的信息，只是一条更方便的记账规则。

一行证明：左边是 $det [u ∣ v ∣ w]$ ，右边是 $w \cdot (u \times v) = det [w ∣ u ∣ v]$ ，而后者正是前者的三列轮换。

这条性质属于谁：既不属于点积，也不属于叉积。

点积是对称的（ $u \cdot v = v \cdot u$ ），它只负责「投影求值」，不产生符号；
叉积是反对称的（ $u \times v = - (v \times u)$ ），符号从它这里来；
但符号随排列如何变化，由行列式的「对换变号」规定，与两个算子各自的对称性都无关。

一个反例说明它不能归给叉积：三重叉积 $a \times (b \times c)$ 轮换之后并不相等。取 $a = (1, 0, 0)$ 、 $b = (1, 1, 0)$ 、 $c = (0, 1, 1)$ ：

$a \times (b \times c) = (0, - 1, - 1), b \times (c \times a) = (- 1, 1, 1), c \times (a \times b) = (1, 0, 0)$

三者互不相等——只有「一叉一点」的嵌套才有轮换不变性。

工程上的用处：这条性质让你可以自由调整顺序、挑最省力的写法。§6.1 里那一步

$det [- D ∣ E_{1} ∣ E_{2}] = - D \cdot (E_{1} \times E_{2}) = (D \times E_{2}) \cdot E_{1} = S_{1} \cdot E_{1}$

中间的等号就是轮换性。改写成最后的形式，是为了复用 $S_{1} = D \times E_{2}$ （算 $u$ 时还要用），从而省掉一次叉乘——这正是「叉乘从 4 次降到 2 次」的来源。

5.4 几何意义：为什么是体积

$b \times c$ 的模长 = $b, c$ 张成的平行四边形底面积，方向垂直于该平行四边形；
$a \cdot (b \times c) = ∣ a ∣ ∣ b \times c ∣ cos θ$ ；
而 $∣ a ∣ cos θ$ 是 $a$ 在法向上的投影长度，即平行六面体的高 $h$ ；
于是 $[a, b, c] = S_{底} \cdot h = V$ 。 $■$

轮换的几何解释：三种写法只是换了底面。

写法	底面	高由谁提供
$a \cdot (b \times c)$	$b, c$ 张成	$a$
$b \cdot (c \times a)$	$c, a$ 张成	$b$
$c \cdot (a \times b)$	$a, b$ 张成	$c$

盒子是同一个盒子。底面换了，高也随之改变，但「底面积 × 高」始终相同——这就是 §5.3 的轮换性在几何上的说法。

注意：这个几何解释只直接说明绝对值不变。体积一样大，不等于定向一样；符号不变还得靠 §5.3 的「变两次号」。只用「体积相等」去论证轮换不变，其实只证了一半。

符号的意义：正 ⟹ ${a, b, c}$ 是右手系；负 ⟹ 左手系；零 ⟹ 共面（体积为 0）。

在图形学里，法线朝向、三角形绕序（winding order）、背面剔除、光线打的是正面还是背面——判据全是混合积的符号。

6. 合成：解出 $t, u, v$

6.1 分母

$det (M) = det [- D E_{1} E_{2}] = (- D) \cdot (E_{1} \times E_{2}) = - D \cdot (E_{1} \times E_{2})$

用轮换性整理成最好算的形式。定义

$S_{1} = D \times E_{2}$

则

$S_{1} \cdot E_{1} = (D \times E_{2}) \cdot E_{1} = D \cdot (E_{2} \times E_{1}) = - D \cdot (E_{1} \times E_{2}) = det (M)$

$det = S_{1} \cdot E_{1}$

6.2 分子

未知数	替换的列	分子行列式	化简结果
$t$	第 1 列	$det [S ∣ E_{1} ∣ E_{2}] = S \cdot (E_{1} \times E_{2})$	$= S_{2} \cdot E_{2}$
$u$	第 2 列	$det [- D ∣ S ∣ E_{2}] = (- D) \cdot (S \times E_{2})$	$= S_{1} \cdot S$
$v$	第 3 列	$det [- D ∣ E_{1} ∣ S] = (- D) \cdot (E_{1} \times S)$	$= S_{2} \cdot D$

其中

$S_{2} = S \times E_{1}$

6.3 结果

$S_{1} det t = D \times E_{2}, = S_{1} \cdot E_{1}, = (S_{2} \cdot E_{2}) inv, S_{2} inv u = S \times E_{1} = \frac{1}{det} = (S_{1} \cdot S) inv, v = (S_{2} \cdot D) inv (6.1)$

即

$t u v = \frac{1}{S _{1} \cdot E _{1}} S_{2} \cdot E_{2} S_{1} \cdot S S_{2} \cdot D$

6.4 正确性证明（直接验证）

已知 $det \neq = 0$ ，即 $D, E_{1}, E_{2}$ 线性无关。要验证式 (3.1)：

$- t D + u E_{1} + v E_{2} = S$

技巧：用叉乘去消项。拿 $S_{1} = D \times E_{2}$ 点乘两端，含 $D$ 和 $E_{2}$ 的项自动消失。

验证 $u$ ：

$(- t D + u E_{1} + v E_{2}) \cdot S_{1} = - t = 0 D \cdot (D \times E_{2}) + u = d e t E_{1} \cdot (D \times E_{2}) + v = 0 E_{2} \cdot (D \times E_{2}) = u det$

右端 $S \cdot S_{1} = S_{1} \cdot S$ ，故 $u = (S_{1} \cdot S) / det$ 。 $✓$

验证 $v$ ：两端点乘 $E_{1} \times D$ （垂直于 $E_{1}$ 与 $D$ ）：

$(- t D + u E_{1} + v E_{2}) \cdot (E_{1} \times D) = v E_{2} \cdot (E_{1} \times D) = v [- D \cdot (E_{1} \times E_{2})] = v det$

右端 $S \cdot (E_{1} \times D) = D \cdot (S \times E_{1}) = D \cdot S_{2}$ ，故 $v = (S_{2} \cdot D) / det$ 。 $✓$

验证 $t$ ：两端点乘 $E_{1} \times E_{2}$ （垂直于 $E_{1}$ 与 $E_{2}$ ）：

$(- t D) \cdot (E_{1} \times E_{2}) = - t [- det] = t det$

右端 $S \cdot (E_{1} \times E_{2}) = E_{2} \cdot (S \times E_{1}) = S_{2} \cdot E_{2}$ ，故 $t = (S_{2} \cdot E_{2}) / det$ 。 $✓$

三式全部验证通过； $det \neq = 0$ 时解唯一，故这就是唯一解。 $■$

这个证明比「由克莱姆法则，显然」更有价值：它顺便解释了为什么偏偏是这三个叉乘方向——因为用 $(E_{i} \times E_{j})$ 点乘恰好能消掉另外两个未知数的项。克莱姆法则是「怎么想到的」，这个证明是「为什么必然对」。

7. 它到底快在哪

先把话说明白：混合积本身并不比行列式快。展开一个 3×3 行列式是 9 乘 5 加；用一次叉乘加一次点乘算同一个混合积是 9 乘 + 3 加 + 3 加，并没有更省。

真正的收益在下面四点。

7.1 复用

四个行列式（分母 + 三个分子）共享同一批 $S_{1}, S_{2}$ 。按定义展开是 $4 \times 9 = 36$ 次乘法；复用后是 2 次叉乘 + 4 次点乘 $\approx 24$ 次。叉乘从 4 次降到 2 次是主要收益，而叉乘是这套运算里最贵的单目（每次 6 乘 3 减）。

7.2 只有一次除法

$inv = 1/ det$ 只算一次，三个未知数各乘一次——而不是三次除法。

7.3 提前退出（early-out）

$u$ 只依赖 $S_{1}$ ，所以它可以在 $S_{2}$ 之前就判定。 $u$ 落在 $[0, 1]$ 外时直接返回，此时只花了 1 次叉乘 + 2 次点乘。在光线追踪里，绝大多数射线是「未命中」，走的就是这条最便宜的路径。

7.4 延迟计算 $t$

$t$ 放到最后。未命中的射线根本不需要 $t$ ，省下来的不只是那一次点乘，还有一次结果写回。

于是推荐的计算顺序是：

S1   = cross(D, E2)
det  = dot(S1, E1)
if |det| < eps:            return miss      // 平行或退化三角形
inv  = 1 / det
u    = dot(S1, S) * inv
if u < 0 || u > 1:         return miss      // 拒绝率最高的关卡
S2   = cross(S, E1)
v    = dot(S2, D) * inv
if v < 0 || u + v > 1:     return miss
t    = dot(S2, E2) * inv
if t <= eps:               return miss      // 交点在射线背后
return hit(t, u, v)

顺序不是随意的： $u$ 在最前是因为它最便宜且拒绝率最高； $t$ 在最后是因为它最「不重要」——只在命中时才需要。

8. 参考实现

一份自包含的 C++ 版本，只依赖一个三维向量和点乘、叉乘：

#include <cmath>

struct Vec3 {
    float x, y, z;
    Vec3 operator-(const Vec3& o) const { return {x - o.x, y - o.y, z - o.z}; }
};

inline Vec3 cross(const Vec3& a, const Vec3& b) {
    return {a.y * b.z - a.z * b.y,
            a.z * b.x - a.x * b.z,
            a.x * b.y - a.y * b.x};
}

inline float dot(const Vec3& a, const Vec3& b) {
    return a.x * b.x + a.y * b.y + a.z * b.z;
}

// 命中返回 true，并写出 t（射线参数）、u/v（重心坐标，对应 P1/P2 的权重）
// 未命中时不修改输出参数
bool rayTriangle(const Vec3& p0, const Vec3& p1, const Vec3& p2,
                 const Vec3& orig, const Vec3& dir,
                 float& t, float& u, float& v,
                 bool cullBackface = false)
{
    const Vec3  e1 = p1 - p0;
    const Vec3  e2 = p2 - p0;
    const Vec3  s  = orig - p0;              // 注意方向：orig - p0

    const Vec3  s1  = cross(dir, e2);
    const float det = dot(s1, e1);

    if (cullBackface) { if (det <  1e-9f) return false; }
    else              { if (std::fabs(det) < 1e-9f) return false; }

    const float inv = 1.0f / det;

    const float uu = dot(s1, s) * inv;
    if (uu < 0.0f || uu > 1.0f) return false;

    const Vec3  s2 = cross(s, e1);
    const float vv = dot(s2, dir) * inv;
    if (vv < 0.0f || uu + vv > 1.0f) return false;

    const float tt = dot(s2, e2) * inv;
    if (tt <= 1e-6f) return false;

    t = tt; u = uu; v = vv;
    return true;
}

几点说明：

背面剔除用 $det$ 的符号实现。 $det = - D \cdot N$ ，所以「射线从正面打来」 $⟺ D \cdot N < 0 ⟺ det > 0$ 。哪一侧算正面取决于三角形绕序，改约定时只改这一处即可。
想做成单面/双面可切换，就是把 $det$ 那一行换成上面那个分支。
最近命中（光线追踪的常规需求）不要在这个函数里维护全局最小 $t$ ，而应把 t 返回给调用方比较——保持函数无状态，便于并行。

9. 边界情况与数值细节

9.1 $det \approx 0$ 的物理含义

$det = 0 ⟺ D, E_{1}, E_{2}$ 线性相关，涵盖三种情况：

射线平行于三角形所在平面；
三角形退化（三点共线，或两顶点重合， $E_{1} ∥ E_{2}$ ）；
射线方向退化（ $D = 0$ ）。

三种都该判「不命中」，代码里一句 |det| < eps 就能全部覆盖。这也是它相对两步法更省心的地方：两步法要分别处理 $N = 0$ （退化）和 $N \cdot D = 0$ （平行）。

9.2 $ϵ$ 怎么取

判 $det$ ：绝对值阈值在三角形尺度接近 1 时够用；更稳的做法是相对量级，例如与 $∣ D ∣ ∣ E_{1} ∣ ∣ E_{2} ∣$ 相比。
判 $u, v$ ：一般用 u < 0、u > 1；若要容忍共享边被两个三角形重复命中，可加微小容差。注意不要给 $u$ 和 $u + v$ 用互相矛盾的容差，否则会出现「判定通过但插值权重为负」的诡异结果。
判 $t$ ：常用 $1 0^{- 4} \sim 1 0^{- 6}$ 量级，避免起点贴在三角形上时自相交。

9.3 $D$ 不必归一化

式 (6.1) 对任意 $D$ 成立。若 $D$ 非单位向量， $t$ 的单位是「 $D$ 的倍数」，不等于世界空间距离：

$真实距离 = t ∣ D ∣$

只比较 $t$ 大小来选最近命中时完全不受影响；但要拿 $t$ 做距离判断、介质吸收、或与别的系统交换数据时，必须记得这一点。

一个直观验证：把 $D$ 乘以 2， $t$ 会减半，交点不变。

9.4 `float` 够不够

常规场景（三角形尺度 $1 0^{- 1} \sim 1 0^{3}$ ）用 float 足够。出现噪点状漏光时，优先怀疑两件事：

射线起点与表面重合（阴影射线的经典问题），应沿法线偏移一个 $ϵ$ ；
世界坐标量级过大（ $1 0^{6}$ 以上），det 的有效位被吃掉。

后者的对症做法是先把顶点平移到以射线起点为原点——本算法已经这么做了（ $S = O - P_{0}$ 正是这个平移），能显著改善数值表现。

10. 变体与演进

10.1 两个方向的等价表述

§2 的两步法与 §3 的一步法在数学上等价，只是解同一个方程组的不同路径。工程里还有第三种流行写法：先把射线变换到三角形的局部坐标系（用平面法向和两条边构造基），在二维里做边函数判定——它与 Möller–Trumbore 的差别只在于「在哪一步除以 $det$ 」。

10.2 水密求交（watertight）

经典实现在三角形共享边上会遇到浮点误差问题：同一条边被相邻两个三角形用不同的顶点组合计算，舍入结果不一致，于是出现亚像素级裂缝，光线从缝里穿过去，画面呈现为稀疏噪点（漏光）。

Woop、Benthin、Wald 在 2013 年给出的解法，核心是让共享边两侧的判定使用完全相同的浮点运算：

先按 $D$ 的最大分量选择主轴 $k_{z}$ ，并交换轴，使 $z$ 方向最陡（这样 $1/ D_{k_{z}}$ 不会爆炸）；
把三个顶点平移到以射线起点为原点，再用 $1/ D_{k_{z}}$ 缩放，投影到二维；
于是求交退化为二维的边函数符号判定，共享边两侧算出的是同一组数，符号必然一致。

代价是多几次轴交换和一次除法，收益是彻底消除裂缝。渲染器通常只在主光线或大型网格上开启水密模式。

10.3 SIMD 与批量求交

在 BVH 遍历中，一次要拿一条射线测 4 条或 8 条三角形。此时标量实现会被改写为：

结构体数组（SoA）布局，把多个三角形的 $E_{1}, E_{2}, P_{0}$ 分量分别存成连续数组；
用 $det$ 的符号做掩码，把 if 全换成 blend / select；
「提前退出」变成「掩码更新」，因为 SIMD 里不能真的提前退出。

这违背了 §7.3 的单射线最优策略——所以标量场景与 SIMD 场景的最优计算顺序恰好不同，是两套写法。

11. 常见错误清单

#	错误	症状	如何定位
1	$S$ 写成 $P_{0} - O$	全部未命中，或只有背面命中	手算 §12 的例子，看 $t$ 是否为 $1$
2	移项后左右两端的负号不匹配	$t < 0$ 、 $u, v$ 反号，全部未命中	按 §3 的方程组逐项核对
3	漏判 $u + v \leq 1$	三角形外侧（同一平面）也被命中，轮廓「变胖」	用两个三角形拼一个正方形测试
4	漏判 $t > 0$	射线背后的三角形也被命中	把相机放进物体内部
5	把 $u, v$ 当纹理坐标用反	几何正确但贴图错位	用带格子纹理的四边形
6	$E_{1}, E_{2}$ 顺序反了，却没同步改 $S_{1}, S_{2}$	$u, v$ 互换，插值错但形状对	打印 $u, v$ 与手算值对比
7	用 `det == 0` 判断	偶发 NaN，或 $t$ 爆炸到 $1 0^{30}$	改成 `fabs(det) < eps`
8	先算 $t$ 再判 $u, v$	结果对但慢 2–3 倍	按 §7.4 重排

第 6 条最隐蔽：形状看起来完全正常，只有贴图或法线插值时才露馅——交换 $u, v$ 不改变「是否命中」，只改变「命中点的属性从哪来」。

12. 一个可以手算的例子

取

$O = (0, 0, 0), D = (0, 0, 1), P_{0} = (0, 0, 1), P_{1} = (1, 0, 1), P_{2} = (0, 1, 1)$

则 $E_{1} = (1, 0, 0)$ ， $E_{2} = (0, 1, 0)$ ， $S = O - P_{0} = (0, 0, - 1)$ 。

$S_{1} = D \times E_{2} = (0, 0, 1) \times (0, 1, 0) = (- 1, 0, 0)$

$det = S_{1} \cdot E_{1} = (- 1, 0, 0) \cdot (1, 0, 0) = - 1 \neq = 0 ✓$

$u = \frac{S _{1} \cdot S}{det} = \frac{0}{- 1} = 0$

$S_{2} = S \times E_{1} = (0, 0, - 1) \times (1, 0, 0) = (0, - 1, 0)$

$v = \frac{S _{2} \cdot D}{det} = \frac{0}{- 1} = 0, t = \frac{S _{2} \cdot E _{2}}{det} = \frac{- 1}{- 1} = 1 ✓$

结果 $t = 1, u = 0, v = 0$ ：交点正是 $P_{0} = (0, 0, 1)$ 。

调试用测试用例

#	$O$	$D$	期望结果	覆盖的行为
1	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, 1)$	命中 $t = 1, u = 0, v = 0$	顶点命中
2	同上，但 $P_{1}, P_{2}$ 互换	$(0, 0, 1)$	命中 $t = 1, u = 0, v = 0$	绕序翻转仍命中
3	$(0.2, 0.2, 0)$	$(0, 0, 1)$	命中 $t = 1, u = 0.2, v = 0.2$	内部点，权重正确
4	$(0, 0, 0)$	$(0, 0, - 1)$	未命中	$t < 0$
5	$(0, 0, 0)$	$(1, 0, 0)$	未命中	平行， $det = 0$
6	三点共线	任意	未命中	退化三角形
7	$(0, 0, 2)$	$(0, 0, 1)$	未命中	射线背离平面

第 3 个用例值得手算： $u = 0.2$ 正好对应面积比。

13. 公式速查

$E_{1} S_{1} det t 命中 = P_{1} - P_{0}, E_{2} = P_{2} - P_{0}, S = O - P_{0} = D \times E_{2}, S_{2} = S \times E_{1} = S_{1} \cdot E_{1} = \frac{S _{2} \cdot E _{2}}{det}, u = \frac{S _{1} \cdot S}{det}, v = \frac{S _{2} \cdot D}{det} ⟺ ∣ det ∣ > ϵ \land t > ϵ \land u \geq 0 \land v \geq 0 \land u + v \leq 1$

一句话记忆：一叉（ $S_{1}$ ）定分母与 $u$ ，二叉（ $S_{2}$ ）定 $v$ 与 $t$ 。

参考

Tomas Möller, Ben Trumbore. Fast, Minimum Storage Ray/Triangle Intersection. Journal of Graphics Tools, 2(1), 1997.
Sven Woop, Carsten Benthin, Ingo Wald. Watertight Ray/Triangle Intersection. Journal of Computer Graphics Techniques, 2(1), 2013.
Ingo Wald, Sven Woop, Carsten Benthin, et al. Embree: A Kernel Framework for Efficient CPU Ray Tracing. ACM Transactions on Graphics, 33(4), 2014.
Matt Pharr, Wenzel Jakob, Greg Humphreys. Physically Based Rendering: From Theory to Implementation（第 3 版 §3.4 对光线-三角形求交的讨论）。